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2009年江苏13市中考数学专题探究课件 第二讲 方程与不等式 苏州立达学校 潘诚

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中考数学专题探究
第二讲 主 讲 单 位 方程与不等式 潘 诚 苏州立达学校
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二、方程与不等式
本专题主要讲解方程和不等式两部分, 本专题主要讲解方程和不等式两部分,其内容包括 一元一次方程、一元二次方程、 一元一次方程、一元二次方程、可化为一元一次方程 一元二次方程)的分式方程、二元一次方程组、 (一元二次方程)的分式方程、二元一次方程组、一元 一次不等式和一元一次不等式组的概念、解法及其应用。 一次不等式和一元一次不等式组的概念、解法及其应用。 在概念方面, 在概念方面,一元一次方程中一次项系数不为 一元二次方程中二次项系数也不为零。 零;一元二次方程中二次项系数也不为零。 方程的解法上,一元一次方程按其一般步骤求解; 方程的解法上,一元一次方程按其一般步骤求解; 二元一次方程组中,解题的基本思想是“消元” 二元一次方程组中,解题的基本思想是“消元”,即代 入消元法和加减消元法;一元二次方程的求解, 入消元法和加减消元法;一元二次方程的求解,直接开 *方法、配方法、公式法、 *方法、配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方 程的基本方法。而因式分解法它体现方程“降次求解” 程的基本方法。而因式分解法它体现方程“降次求解” 的基本思想,公式法更具有一般性。 的基本思想,公式法更具有一般性。

同学们在求解方程时应灵活选用, 同学们在求解方程时应灵活选用,值得注意的是分式方程求 要验根。 解,要验根。 对于一元一次不等式( 的求解, 对于一元一次不等式(组)的求解,要熟练地掌握不等 式的基本性质,它是不等式求解的基础,在解不等式( 式的基本性质,它是不等式求解的基础,在解不等式(组) 时,若不等式两边同时乘以或除以同一个负数时不等号方向 要改变。而不等式组的解是每个不等式解的公共部分, 要改变。而不等式组的解是每个不等式解的公共部分,它常 通过数轴这一步骤来得到不等式解的。 通过数轴这一步骤来得到不等式解的。 本专题的内容在初中知识结构上占较重要的位置, 本专题的内容在初中知识结构上占较重要的位置,是各 地市中考题中重要的考查内容。 地市中考题中重要的考查内容。

1 2 7

2 7

典型例题导析
例1.若关于x的一元一次方程 1.若关于x 若关于 1,则 的值是( x= -1,则k的值是( A. )

2 x ? k x ? 3k ? =的解是 1 3 2

2 7

B.

1

C.

13 ? D. 11

0

解析: 解析:本题主要考查一元一次方程的解 及其解法,由题意得, 及其解法,由题意得, ?2 ? k ?1 ? 3k ? =1 3 2 这时原方程转换成关于k的一元一次方程, 这时原方程转换成关于k的一元一次方程, 解得: 解得:k=1。故选 (B)

例2.方程 2.方程 A. 2 ?

x2 + 4x = 2
6 B. 2 + 6

的正根为





? C. 2 ? 6 D. ?2 +

6

解析:利用配方法或公式法求解得正 解析:利用配方法或公式法求解得正根 x= -2+ 6 . = 故选( 故选(D)

2008江苏省苏州市 解不等式组: 江苏省苏州市) 例3. (2008江苏省苏州市)解不等式组:

? x + 3 > 0, ? ?2( x ? 1) + 3 ≥ 3 x.
3 是否满足该不等式组. 并判断 x = 是否满足该不等式组. 2

解析:解不等式组得其解为- 解析:解不等式组得其解为-3<x≤1 ,故x= 满足此不等式组

3 2

? x > m + 3, ? ? x < 3m ? 1.

? x > m + 3, 4.若关于 无解, 例4.若关于x的不等式组 ? 无解, ? x < 3m ? 1.

1 的根的情况。 试判断方程 (3 ? m) x ? x + = 0 的根的情况。 4
2

x1 + x2 1

解析:由不等式组无解,可得: 解析:由不等式组无解,可得:3m-1≤m+3 1≤m 解得: 解得:m≤2 3m -1 (m +3) 所以 3-m≠0

1 又 ∵方程 △= ( ?1) ? 4 × (3 ? m) × =m-2 4
2

当m=2 时 △=0, ∴方程有两个相等的是实数根; 方程有两个相等的是实数根; 方程无实数根。 当m<2时 △<0, ∴方程无实数根。 <2时

例5. 已知关于x的方程 mx 实数根

2

? 14 x ? 7 = 0 有两个
y 2 ? 2(n ? 1) y + n 2 ? 2n = 0
1

x1和 x2,关于y 的方程

有两个实数根 y1 和

y2,且-2≤ y

<

y2 ≤4, ≤4,

2 6 2 ? + 2(2 y1 ? y2 ) + 14 = 0 时,求m 的范围。 的范围。 当 x1 + x2 x1 x2

x1 + x2 =

14 7 , x1 ? x2 = ? m m

解析: 解析:由关于y的方程 有两个实数根, 有两个实数根,可得

y ? 2(n ? 1) y + n ? 2n = 0
2 2

△= 4(n ? 1) ? 4[n ? 2n]
2 2

是一个完全*方数,故考虑解出此方程的两根, 是一个完全*方数,故考虑解出此方程的两根, 解此方程得

=4

y1 = n ? 2, y2 = n
?2 ≤ y1 < y2 ≤ 4

再根据已知条件

<4。 可得出- 可得出-2≤n-2<n<4, 解此不等式组得 0≤n<4。

又 ∵关于x的方程

mx ? 14 x ? 7 = 0
2

有两个实数根 1 和 2则 ∴ m≥-7 且m≠0

x

x

△= 14 ? 4m(?7) ≥ 0
2

14 7 ∵ x1 + x2 = m , x1 ? x2 = ? m


2 6 2 ? + 2(2 y1 ? y2 ) + 14 = 0 x1 + x2 x1 x2

4 × 2 × (?6) ? (?4) 2 4× 2

∴2

6 2 ? + 2[2(n ? 2) ? n ] + 14 = 0 14 7 ? m m
2

注意: 得 m = 2n ? 4n ? 6 (注意:这是一个以n为自变量m 的函 的范围0≤n<4 0≤n<4求 的范围) 数。根据n 的范围0≤n<4求 m 的范围) ?4 , n=2在0≤n<4 内, ∵对称轴 n=-

4 × 2 × (?6) ? (?4) 2 =- 所以m= =-8, 4× 2
=0时 ∵当n=0时,m=-6; 当n=4时,m=10. 的取值范围是- ∴m的取值范围是-8≤m<10.

2

2007江苏扬州课改 为了加强公民的节水意识, 江苏扬州课改) 例6. (2007江苏扬州课改)为了加强公民的节水意识,合理 利用水资源,某市采用价格调控手段达到节水的目的. 利用水资源,某市采用价格调控手段达到节水的目的.该 市自来水收费价格见价目表. 市自来水收费价格见价目表. 3 若某户居民月份用水 8m , 价目表 则应收水费: 则应收水费: 每月水用量 单价 2 × 6 + 4 × (8 ? 6) = 20 元. 不超出 6m3 的部分 2 元/m3 m (1)若该户居民月份用水 3 超出 6m3 不超出 10m3 的部分 4 元/m3 则应收水费______元 ______ 12.5m,则应收水费______元; 超出 10m3 的部分 8 元/m3 若该户居民3 (2)若该户居民3、4月份共 3 注:水费按月结算. 用水15m(4月份用水量超过 月份),共交水费元,则该户居民, ),共交水费元 3月份),共交水费元,则该户居民,月份各用水多少立方 米?

解析: 每月水用量不超出6 解析:⑴ ∵每月水用量不超出6 m 的部分的水费是 3,超出6 3 不超出10 m3的部分的水费是4 的部分的水费是4 2元/ m 超出6m 不超出10 3 的部分的水费是8 元/m3 超出10 m 的部分的水费是8元/ ,该居 ,超出10 m3 民月份用水, 应收水费= 2+4×4+8×(12.5-10)= 民月份用水,∴应收水费=6×2+4×4+8×(12.5-10)=12 16+20=48元 +16+20=48元. ⑵ ∵该户居民3、4月份共用水15m 3 4月份用水量超过3月 且 月份用水量超过3 3 份。 m3 m 则四月份用水量为(15 (15- ,则四月份用水量为(15-x) . 设三月份用水量为x 当三月份用水量0< <6,则四月份6<(15 6<(15- )<10时 ①当三月份用水量0<x<6,则四月份6<(15-x)<10时。 +2×6+4×(15- 2x+2×6+4×(15-6-x)=44 解得x=2 ,∴ 15-x=13 (不合题意舍去) 15- 不合题意舍去)

3

>10时 ②当三月份用水量0<x<6,则四月份用水量为(15-x)>10时 当三月份用水量0< <6,则四月份用水量为(15- +2×6+4× (15- 2x+2×6+4×4+8×(15-6-4-x)=44 符合题意) 解得 x=4 (符合题意) 6<(15- )<10时 ③当三月份用水量6<x<7.5,则四月份用水量为6<(15-x)<10时 当三月份用水量6< <7.5,则四月份用水量为6<(15 6)+ 6+4×(15- 2×6+4(x-6)+2×6+4×(15-6-x)=44 (方程无解) 方程无解)

m3,四月份用水量为11m3 。 综上所述:三月份用水4 四月份用水量为11 ∴综上所述:三月份用水4








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