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北师大版九年级上册数学 第六章教学资源包北师大版九年级上第六章反比例函数导学案 (2)

发布时间:

6.1 反比例函数

学*目标、重点、难点

【学*目标】

1.从现实情境和已有知识经验出发,讨论两个变量之间的相依关系,加深对函数概念的 理解.
2.经历抽象反比例函数概念的进程,领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念. 【重点难点】 理解和领会反比例函数的概念.

知识概览图
反比例关系→反比例

概念:一般地,如果两个变量 x,y 之间的关系可以表示成 y ? k (k x
为常数,k≠0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数

函数

一般形式: y ? k (k 为常数,k≠0) x

新课导引

【生活链接】某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的 烂泥湿地,为了安全并且迅速地通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了

若干块木板(如右图所示),构筑成一条临时通道,从而顺利地通过了这片湿 地.

【问题探究】你知道他们这样做的原因吗?当人和木板对湿地的压力一 定时,随着木板面积 S 的变大,人和木板对地面的压强 p 将会变小.

【点拨】p= F ,这里 F 是常量,p 与 S 是成反比的量,p 是 S 的函数,称为反比例函数. S
教材精华

知识点 1 反比例函数的概念

定义:一般地,如果两个变量 x,y 之间的关系可以表示成 y= k (k 为常数,k≠0)的形 x

式,那么称 y 是 x 的反比例函数.

拓展 (1)等号左边是函数 y,等号右边是一个分式,分子是不为零的常数 k(也叫做比例 系数 k),分母中含有自变量 x,且 x 的指数是 1,若写成 y=kx-1.则 x 的指数是-1.

(2)比例系数 k≠0 是反比例函数定义的一个重要组成部分.

(3)自变量 x 的取值范围是 x≠0 的一切实数.

(4)函数 y 的取值范围也是一切非零实数.

知识点 2 用待定系数法求反比例函数的表达式

由于在反比例函数 y= k 中,只有一个待定系数.因此只需要一组对应值,即可求出 k x
的值,从而确定其表达式.

知识点 3 反比例关系与反比例函数的区别和联系

我们学过反比例关系.如果 xy=k(k 是常数,k≠0).那么 x 与 y 这两个量成反比例关系,

这里 x,y 既可以代表单独的一个字母,也可以代表多项式或单项式,例如若 y+3 与 x-1 成

反比例,则

y+3=

k ,若 x ?1

y



x2

成反比例,则

y=

k x2

.成反比例关系不一定是反比例函数,

但反比例函数 y= k 中的两个变量必成反比例关系. x

拓展 反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数一定是反比例关系.

规律方法小结 类比思想:在学*反比例函数的概念时,注意与成反比例的量进行类比,

与正比例函数的概念对比,这样便于我们对反比例函数的概念的理解与掌握.

课堂检测

基本概念题

1、下列各式中,y 是 x 的反比例函数吗?为什么?

(1)xy=2;

(2)y=10-x;

(3)y= 1 ; 3x

(4)y= 3b (b 为常数,b≠0). x

基础知识应用题 2、判断下列各题中的两个变量是否成比例关系,若成比例关系,指出是正比例关系,还 是反比例关系. (1)三角形底边长为定值,它的面积 S 与这条边上的高 h; (2)三角形面积为定值,它的底边长 a 与这条边上的高 h; (3)正方形的面积 S 与它的一边长 a; (4)周长为定值的长方形的长和宽; (5)面积为定值的长方形的长和宽; (6)儿童的身高与年龄; (7)圆的周长与它的半径.

3、若函数 y=(m+1) xm2?3m?1 是反比例函数,求 m 的值.

综合应用题 4、一定质量的二氧化碳,它的体积 V 与它的密度ρ 成反比例,当 V=5m3 时,ρ =1.98kg /m3,求ρ 与 V 的函数关系式.
5、一水池内蓄水 40 m3.设放完满池水的时间为 T 小时,每小时的放水量为 W m3,规定 放水时间不得超过 20 小时,求 T 与 W 之间的函数关系式,指出函数 T 和自变量 W 的取值范

围.
探索创新题 6、某工人计划利用一块不锈钢钢锭加工成一个面积为 0.8m2 的矩形框工件,设工件的 长与宽分别为 y m 与 x m.(不计厚度) (1)请写出 y 与 x 之间的函数表达式; (2)如果想使工件的长比宽多 1.6 m,已知加工费为每米 6 元,求加工这个工件所需的费 用.

体验中考

若梯形的下底长为 x,上底长为下底长的 1 ,高为 y,面积为 60,则 y 与 x 的函数关系式 3



.(不考虑 x 的取值范围)

学后反思

附: 课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析 本题考查反比例函数的意义.观察各式,看能否写成 y= k (k 为常数,k≠0) x
的形式.

解:(1)是.因为 xy=2 能写成 y= 2 的形式,符合反比例函数的定义. x

(2)不是.因为 y=10-x 不能写成 y= k 的形式. x

1

(3)是.因为 y= 1 能写成 y= 3 的形式,符合反比例函数的定义.

3x

x

(4)是.因为 y= 3b 是 y= k 的形式,此时 k=3b,符合反比例函数的定义.

x

x

【解题策略】反比例函数的一般形式是 y= k (k 是常数,k≠0),其中自变量 x 的取值范 x
围是 x≠0,函数 y 的取值范围是 y≠0. 2、解:各题的函数关系式如下:

(1)设底边长为 k,则有 S= 1 kh. 2

(2)设面积为 S,则有 1 ah=S,故 a= 2S .

2

h

(3)S=a2.

(4)设周长为 l,长为 y,宽为 x,则有 2(y+x)=l,故 y= l -x. 2

(5)设面积为 S,长为 y,宽为 x,则有 xy=S,故 y= S . x
(6)儿童的身高与年龄不能用函数关系式表示. (7)设圆的周长为 C,半径为 r,则有 C=2π r. 显然(1),(2),(5),(7)成比例关系,其中(1),(7)成正比例关系,(2),(5)成反比例关系.

【解题策略】形如 y=kx(k 是常数,k≠0)的函数是正比例函数,形如 y= k (k 是常数,k x
≠0)的函数是反比例函数,明确正比例函数与反比例函数的意义是解决本题的关键.

3、分析 根据反比例函数的概念可知,反比例函数 y= k (或 y=kx-1)中隐含条件 k≠0, x
所以本题中 m 的值不仅要满足 m2+3m+1=-1,还要满足 m+1≠0. 解:根据题意,得 m2+3m+1=-1. 解得 m1=-1,m2=-2. 当 m=-1 时,m+1=0,所以 m=-1 不符合题意. 当 m=-2 时,m+1=-1≠0,所以 m=-2 符合题意. 故 m=-2.

4、分析 因为 V 与ρ 成反比例,所以设ρ = k (k≠0),将 V=5,ρ =1.98 代入即可求 V
得 k.

解:设函数关系式为ρ = k ,已知当 V=5m3 时,ρ =1.98 kg/m3, V

所以 1.98= k .所以 k=9.9. 5

所以ρ 与 V 的函数关系式为ρ = 9.9 . V
规律·方法 本题应用物理知识,当二氧化碳的质量一定时,其密度ρ 与体积 V 成反比 例,反比例函数与其他学科知识的应用已成为*几年中考热点之一.把实际问题抽象成数学模

型(y= k ,k≠0)是解决问题的关键所在. V
5、分析 由题意可得出 T 与 W 成反比例函数,而 W 的取值范围可由题目给出的 T 的范 围求出.

解:由题意,得 T= 40 ,且 0<T≤20,所以 W≥2. W

6、分析 本题考查反比例函数的意义、方程等知识的综合应用.(1)因为矩形的面积等于

长乘以宽,所以当面积一定时,矩形的长与宽成反比例函数,即 y ? 0.8 .(2)利用方程可求出 x
矩形的宽,从而确定所需费用.

解:(1)∵xy=S(S≠0),∴ y ? S . x

当 S=0.8 时, y ? 0.8 (即 y 为 x 的反比例函数). x
(2)∵矩形工件的长比宽多 1.6 m,∴y=1.6+x.

∴1.6

?

x

?

0.8 x

.解得

x1=0.4,x2=-2(舍去).

∴矩形的宽为 0.4 m,长为 0.4+1.6=2(m).

∴矩形框的周长为 2(0.4+2)=4.8(m).

∴所需费用为 4.8×6=28.8(元).

【解题策略】实际问题中两个变量之间的关系可由一些公式求得,然后判断这种函数关

系的类型.

体验中考

分析 由梯形面积公式可知 1 ?? 1 x ? x?? y ? 60 ,这里我们可把 x 视为常数,解关于 y 的方 2?3 ?

程可得 y ? 90 .故填 y ? 90 .

x

x

【解题策略】熟悉各类公式的恒等变形是解此类问题的

6.2 反比例 函数的图象与性质
学*目标、重点、难点
【学*目标】 1、进一步巩固作反比例函数的图象. 2、逐步提高从函数图象中获取信息的能力,探索并掌握反比例函数的主要性质. 【重点难点】 1、 通过观察图象,概括反比例函数图象的共同特征,探索反比例函数的主要性质. 2、 从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.

知识概览图
反比例函数的图象与性质

反比例函数图象(双曲线)的画法:(1)列表;(2)描点;(3)连线

当 k>0 时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从

左向右下降,也就是说,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小

性质

当 k<0 时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从 左向右上升.也就是说,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大

新课导引
【生活链接】爱思考的小明想在坐标系中描出横、纵坐标的积等于 6 的点,并列表如下:













x



1

2

3

4

5

6



6

5

4

3

2

1







y



1

1

1

1-





6

3

2

.

.1



1

.

.

2

3

6

5

2

2

5

然后他将 x,y 的对应值分别作为点的横、纵坐标在直角坐标系中描了出来(如下图所示).

【问题探究】如果用光滑曲线顺次连接图中各点,能得到怎样的图象?你能描述它的形状和性质吗?
【点拨】由 xy=6 可得 y ? 6 ,是反比例函数.反比例函数的图象叫做双曲线. x
教材精华
知识点 1 反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线,也称双曲线 y ? k (k≠0),其图象如图 5-1 所示. x
拓展 反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象 限,它们关于原点对称,由于反比例函数中自变量 x≠0,函数 y≠0,所以它们的图象与 x 轴、y 轴都没有 交点,即双曲线的两个分支无限接*坐标轴,但永远不能到达坐标轴.
知识点 2 反比例函数图象的画法 (1)列表:自变量的取值应以 0 为中心,在 0 的两边取三对(或三对以上)相反数,如 1 和-1,2 和-2,

3 和-3 等等,填 y 值时,只需计算原点一侧的函数值,如分别计算出当 x=1,2,3 时的函数值,那么当 x=-1,-2,-3 时的函数值应是与之对应的相反数.

(2)描点:先画出反比例函数的图象的一侧,另一侧可根据图象关于原点对称的性质来画. (3)连线:按照从左到右的顺序连接各点并延伸. 拓展 画反比例函数的图象时,应注意以下几点:

(1)两条曲线是*滑的,不要只画一个分支,而忘了画另一个分支. (2)两条曲线无限靠*坐标轴,但与坐标轴无交点.

探究交流 反比例函数 y ? k (k≠0)的图象是轴对称图形吗? x
点拨 反比例函数 y ? k (k≠0)的图象是轴对称图形,它的对称轴有两条,分别是直线 y=x 和直线 y x
=-x. 知识点 3 反比例函数的性质

反比例函数 y ? k (k≠0)的性质如下: x
当 k>0 时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是说,在每个象 限内,y 随 x 的增大而减小.
当 k<0 时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是说,在每个象

限内,y 随 x 的增大而增大. 拓展 (1)描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内”.若说成“当 k>0(或 k<0)时,y 随 x

的增大而减小(或增大)”,就会出现与事实不符的矛盾. (2)反比例函数的图象的位置、函数的增减性都是由比例系数 k 的符号决定的.反过来,由双曲线的位

置、反比例函数的增减性也可以推断出 k 的符号,即双曲线在第一、三象限时,k>0;双曲线在第二、四 象限时,k<0.

探究交流 反比例函数的表达式中 k 的几何意义.

点拨 反比例函数 y ? k 的本质特征是两个变量 y 与 x 的乘积是一个常数 k,由此可以推得反比例函 x
数的一个重要性质.

若 A 是反比例函数 y ? k 图象上任意一点,且 AB 垂直 x 轴,垂足为 B, x

AC 垂 直 y

轴,垂足为 C,则 S 矩形 ABOC= k ,如图 5-2 所示.

由反比例函数图象与矩形面积的关系可以得出反比例函数图象与三角

形面积的关

系:S△AOB=S△AOC=S

矩形

ABOC=

1 2

k



规律方法小结 数形结合思想:学*反比例函数与学*其他函数一样,要善于数形结合,由表达式联

想图象的位置及性质,由图象和性质联想比例系数 k 的符号.
课堂检测

基础知识应用题

1、在同一直角坐标系内画出反比例函数 y ? 4 与 y ? ? 4 的图象.

x

x

2、已知反比例函数的表达式为 y ? 4 ? k ,分别根据下列条件求出字母 k 的取值范围. x
(1)函数图象位于第一、三象限; (2)在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大.

综合应用题

3、如图 5-5 所示,A,B 是函数 y ? 1 的图象上关于原点 O 的对称点, x
行于 y 轴,BC *行于 x 轴,△ABC 的面积为 S,则下列各式正确的是

A.S=1

B.S=2

C.S>2

D.1<S<2

4、已知反比例函数 y ? k 的图象经过点(4, 1 ),若一次函数 y=x+1

x

2

*移后经过该反比例函数图象上的点 B(2,m),求*移后的一次函数图象与 x 轴的交点坐标.

AD * ()
的图象

探索创新题

5、如图 5-7 所示,已知双曲线 y ? k (k>0)与直线 y=k′x 交于 A,B 两点,点 A 在第一象限,试 x
解答下列问题.

(1)若点 A 的坐标为(4,2),则点 B 的坐标为

,若点 A 的横坐标为 m,则点 B 的坐标可表示





(2)如图 5-8 所示,过原点 O 作另一条直线 l,交双曲线 y ? k (k>0)于 P,Q 两点,点 P 在第一象 x
限. ①试说明四边形 APBQ 一定是*行四边形; ②设点 A,P 的横坐标分别为 m,n,四边形 APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出
m,n 应满足的条件;若不可能,请说明理由.

体验中考
1、已知图 5-10(1)中的曲线是反比例函数 y ? m ? 5 (m 为常数)图象的一支. x
(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限?常数 m 的取值范围是什么? (2)若该函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象在第一象限内的交点为 A,过 A 点作 x 轴的垂线,垂足 为 B,当△OAB 的面积为 4 时,求点 A 的坐标及反比例函数的解析式.

2、如图 5-11 所示,已知 A(-4,n),B(2,-4)是一次函数 y=kx+b 的图象和反
比例函数 y ? m 的图象的两个交点. x
(1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积;
(3)求方程 kx ? b ? m ? 0 的解(请直接写出答案); x
(4)求不等式 kx ? b ? m <0 的解集(请直接写出答案). x

学后反思

附: 课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析 画函数图象一般采用列表、描点、连线的方法(简称为描点法).描点时,一般在原点左右对

称取值(取 5~7 点)即可.

解:(1)列表.











x



1

2

3

4

5



5

4

3

2

1

y? 4

?4 -

?4





4

4

x



5

3

4

2

3

1

5



1

2

4

y??4 …

4

x

5

4
1
3

2

4





?4



?4



4

23

15

(2)描点. (3)连线.如图 5-4 所示.

规律·方法 运用描点法画反比例函数图象时,需根据函数图象的对称特点进行.

2、分析 此反比例函数的比例系数是 4-k,先根据反比例函数的性质列出不等式,解不等式求出 k

的取值范围.

解:(1)∵双曲线在第一、三象限,

∴4-k>0,∴k<4.

(2)∵在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大,

∴4-k<0,∴k>4.

3、分析 作 AM⊥y 轴于 M,则矩形 AMOD 的面积 S=AM·AD= xy .∵ y ? k ,∴xy=k,∴S= k , x

即过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线,所得的矩形面积为

k

,∴S△AOD=

1 2

k

?

1 ?1? 2

1 .又∵BC 2

∥x

轴,∴△AOD∽△ABC,∴S△ABC∶S△AOD=AB2∶AO2.而

OA=OB,∴AB=2OA,∴S△ABC=

?? ?

2OA OA

2
? ? ?

·S

△AOD=4×

1 2

=2.故选

B.

k
【解题策略】双曲线的函数表达式的确定除了由△AOM 的面积等于 外,还应看双曲线的位置.
2

4、分析 本题考查一次函数、反比例函数的图象与性质、图形*移等知识.要求出*移后一次函数

图象与 x 轴的交点坐标,需求出*移后一次函数的表达式,因而需求出点 B 的坐标.又因为点 B 在反比例

函数 y ? k 的图象上,所以首先应求出反比例函数的表达式. x

解:∵反比例函数 y ? k 的图象经过点(4, 1 ),

x

2

∴ 1 ? k ,解得 k=2. 24

∴反比例函数的表达式为 y ? 2 . x

又∵点 B(2,m)在函数 y ? 2 的图象上, x

∴ m ? 2 ? 1,∴点 B 的坐标为 B(2,1). 2

设由一次函数 y=x+1 的图象*移后得到的函数表达式为 y=x+b,

∵函数 y=x+b 的图象经过点 B(2,1), ∴1=2+b.解得 b=-1. ∴*移后的一次函数表达式为 y=x-1. 令 y=0,则 0=x-1.解得 x=1. ∴*移后的一次函数的图象与 x 轴的交点坐标为(1,0). 【解题策略】注意直线 y=x+1 *移后的表达式应设为 y=x+b(b 为待定系数).
5、解:(1)(-4,-2)(-m,-k′m)或(-m, ? k ) m
(2)①由勾股定理得 OA= m2 ? (k?m)2 ,

OB ? (?m)2 ? (?k?m)2 ? m2 ? (k?m)2 ,

所以 OA=OB.

同理可得 OP=OQ,

所以四边形 APBQ 一定是*行四边形.

②四边形 APBQ 可能是矩形,m,n 应满足的条件是 mn=k.

四边形 APBQ 不可能是正方形,

理由:点 A,P 不可能在坐标轴上,即∠POA≠90°.

体验中考

1、分析 k>0 时,双曲线在第一、三象限内;k<0 时,双曲线在第二、四象限内.

解:(1)这个反比例函数图象的另一支在第三象限;

∵这个反比例函数的图象分布在第一、三象限,

∴m-5>0.解得 m>5.

(2)如图 5-10(2)所示,由第一象限内的点 A 在正比例函数 y=2x 的图象上,设点 A 的坐标为(x0,2x0)(x0

>0),则点 B 的坐标为(x0,0),

∵S△OAB=4,



1 2

x0·2x0=4,解得

x0=2(负值舍去).

∴点 A 的坐标为(2,4).

又∵点 A 在反比例函数 y ? m ? 5 的图象上, x
∴ 4 ? m ? 5 ,即 m-5=8. 2

∴反比例函数的解析式为 y ? 8 . x
【解题策略】待定系数法是确定各类基本函数解析式的一般方法,一般地,有几个待定系数就应该有

几个方程,最后通过解方程或解方程组得出答案.

2、分析 因为 B 点在反比例函数的图象上,所以 ? 4 ? m ,即 m=-8.把 A(-4,n)代入 y ? ? 8 ,

2

x

得 n=2.由 A,B 两点坐标,利用待定系数法可求出一次函数的解析式.

解:(1)∵B(2,-4)在函数 y ? m 的图象上,∴m=-8, x

∴反比例函数的解析式为 y ? ? 8 . x

∵点 A(-4,n)在函数 y ? ? 8 的图象上,∴n=2,∴A(-4,2). x

∵y=kx+b 经过 A(-4,2),B(2,-4),



?? 4k ??2k ?

? b

b ?

? 2, ?4,

解得

?k ??b

? ?

?1, ?2.

∴一次函数的解析式为

y=-x-2.

(2)∵C 是直线 AB 与 x 轴的交点,

∴当 y=0 时,x=-2,∴点 C(-2,0),∴OC=2,

∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=

1 2

×2×2+

1 2

×2×4=6.

(3)x1=-4,x2=2.

(4)-4<x<0 或 x>2.

【解题策略】直线与双曲线的交点坐标同时适合两个函数的解析式,根据此性质可以利用待定系数法

求解析式.

6.3 反比例函数的应用

学*目标、重点、难点
【学*目标】 1、经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,进而解决问题的过程. 2、体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识.提高运用代数方法解决问题的能力. 【重点难点】 1、用反比例函数的知识解决实际问题.

2、如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型,用数学知识去解决实际问题.

知识概览图
利用反比例函数解决实际问题

建立反比例函数模型 利用反比例函数的图象与性质进行解答 实际问题的答案与数学问题答案间的区别与联系

新课导引
【生活链接】一段时期市场上使用杆称,一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空,或更换较小的秤砣,使 砣较轻,从而欺骗客户.
【问题探究】(1)如右图所示,对于同一物体,哪个图用的是标准秤砣,哪 个图用的是较轻的秤砣?
(2)在称同一物体时,所称得的物体质量 y(千克)与所用秤砣质量 x(千克)之 间满足什么关系?
(3)当砣较轻时,称得的物体变重,这正好符合哪个函数的哪些性质? 【点拨】(1)设物体重为 W,阻力臂为 L1,秤砣重 F,动力臂为 L2,则由于 W·L1=F·L2,且 W·L1 一定,∴F 越小,L2 越大,显示物体质量越多,故(2)用的是标准秤砣,(1)用的是较轻的秤砣. (2)由(1)的分析可知,y 与 x 之间满足反比例关系.
(3)设这个反比例函数为 y ? k (k>0),则当 x 变小时,y 增大,所以当砣较轻时,称得的物体变重, x

这正好符合反比例函数 y ? k 中,当 k>0,x>0 时,函数的图象在第一象限内,y 随 x 的减小而增大的性 x
质(即 y 随 x 的增大而减小).

教材精华

知识点 利用反比例函数解决实际问题

反比例函数是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要的数学模型.它在现实生活中有着广泛的

应用.利用反比例函数的图象与性质,能比较清晰、直观、简捷地解决一些实际问题.

在生活中有许许多多成反比例关系的实例.如:当路程 s 一定时,时间 t 与速度 v 成反比例关系,写

成 t ? s (s 是常数);当矩形面积 S 一定时,长 a 与宽 b 成反比例关系,写成 a ? S (S 是常数);当面积是

v

b

常数 S 时,三角形的底边长 y 与高 x 成反比例关系,写成 y ? 2S (S 是常数);当功是常数 W 时,力 F 与 x

物体在力的方向上通过的位移 s 成反比例关系,写成 F ? W (W 是常数);当压力 F 一定时,压强 p 与受 s

力面积 S 之间成反比例关系,写成 p ? F (F 是常数);在某一电路中,保持电压 U 不变,电流 I 与电阻 R S

成反比例关系,写成 I ? U (U 是常数)等等. R

在利用反比例函数解决实际问题时,一定要注意 y ? k (k 为常数,k≠0)这一条件.结合图象说出性 x
质,根据性质大致画出图象,求函数的表达式是必须掌握的.

拓展 实际问题中的数量关系一般都具有实际意义,所以在建立数学模型解答问题时,需注意实际问

题对数学答案的要求与限制.如一些数量非负(时间、速度、长度一定是正数,人数是正整数等),在解答

过程中要时刻注意问题中的要求.

规律方法小结 数学建模思想是解决实际问题的基本思想方法.在许多实际问题中,需抽象出数学模

型(如建立坐标系,设出函数关系式,列出方程等),即用数学关系式或图形来表示实际问题中数量之间的

关系,从而运用数学方法求出问题的答案,使问题得以解决.

课堂检测

基础知识应用题

1、某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 P(kPa)是气体体积 V(m3)的反

比例函数,其图象如图 5-19 所示.当气球内的气压大于 120 kPa 时,气球将爆

炸.为了安全起见,气球的体积应 ( )

A.不小于 5 m3 4

B.小于 5 m3 4

C.不小于 4 m3 5

D.小于 4 m3 5

2、一辆汽车往返于甲、乙两地之间,如果汽车以 50 千米/时的*均速度从甲地出发,则经过 6 小时 可到达乙地.
(1)甲、乙两地相距多少千米? (2)如果汽车把速度提高到 v 千米/时,那么从甲地到乙地所用时间 t 小时将怎样变化? (3)写出 t 与 v 之间的函数关系式; (4)因某种原因,这辆汽车需要在 5 小时内从甲地到达乙地,则此时汽车的*均速度至少应是多少? (5)已知汽车的*均速度最大可达 80 千米/时,那么它从甲地到乙地最快需要多长时问?

综合应用题

3、某课外小组在做气体试验时,获得压强 p(pa)与体积 V(cm3)之间有下列对应数据:

p(Pa)



1

2

3

4

5



V(cm3)



6

3

2

1.5

1.2



根据表中提供的信息,回答下列问题.

(1)猜想 p 与 V 之间的关系,并求出函数关系式;

(2)当气体的体积是 12 cm3 时,压强是多少?

4、某地区去年电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿度,今年计划将电价调至 0.55~0.75 元之间,经 测算,若电价调至 x 元,则今年新增加用电量 y 亿度与(x-0.4)元成反比例,当 x=0.65 元时,y=0.8.
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式; (2)若每度电的成本价为 0.3 元,则电价调至多少元时,今年电力部门的收益将比去年的增加 20%?(收 益=用电量×实际电价-用电量×成本价)

探索创新题 5、某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 p(千帕)(千帕是一种压强单位) 是气体体积 V(米 3)的反比例函数,其图象如图 5-20 所示. (1)写出这个函数的表达式; (2)当气球的体积为 0.8 立方米时,气球内的气压是多少千帕? (3)当气球内的气压大于 144 千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米?

体验中考

1、一块蓄电池的电压为定值,使用此蓄电池为电源时,电流 I(A)与电阻 R(Ω )之间的函数关系如图 5

-23 所示,如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 10 A,那么此用电器的可变电阻应 ( )

A.不小于 4.8 Ω

B.不大于 4.8 Ω

C.不小于 14 Ω

D.不大于 14 Ω

2、为了预防流感,某学校在休息日用药熏消毒对教室进行消毒.已知药物释放 过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比,药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系
式为 y ? a (a 为常数),如图 5-24 所示,根据图 5-24 中提供的信息,解答下列问题. t
(1)写出从药物释放开始,y 与 t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范 围;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进入 教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能进入教室?

学后反思

附: 课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析 设 P ? m ,由图象可知,点(1.6,60)在双曲线上,所以有 60 ? m ,解得 m=96,所以

V

1.6

函数关系式为 P ? 96 .依题意有 P ? 96 ≤120,得 V≥ 4 .故选 C.

V

V

5

2、解:(1)50×6=300(千米).

(2)t 将减小.

(3) t ? 300 (v>0). v

(4)根据题意,得 300 ≤5,所以 v≥60(千米/时). v

(5)t= 300 =3.75(小时). 80

答:(1)甲、乙两地相距 300 千米.(2)t 将减小.(3) t ? 300 (t>0).(4)汽车的*均速度至少应是 60 v
千米/时.(5)最快需要 3.75 小时.

【解题策略】本题可以通过计算解决以上问题,也可以根据函数的图象对问题进行解释.

3、分析 (1)表中可以看出 p 增大 V 减小,且 p·V=1×6=2×3=3×2=4×1.5=5×1.2,即 p 与 V

的积是一个常数,所以 p 与 V 有可能成反比例关系.(2)将 V=12 代入关系式即可.

解:(1)表中 p 增大 V 减小,且 p 与 V 的积是一个常数,

所以 p 与 V 成反比例关系.

设 p 与 V 的函数关系式为 p ? k (k≠0), V

将 p=1,V=6 代入得 1= k ,即 k=6. 6

所以 p 与 V 的函数关系式为 p ? 6 . V

(2)将 V=12 代入 p ? 6 ,得 p ? 6 ,即 p=0.5.

V

12

所以当气体的体积是 12 cm3,压强是 0.5 Pa.

4、分析 本题主要考查待定系数法和列方程解应用题.

解:(1)∵y 与(x-0.4)成反比例,∴设 y ? k (k≠0), x ? 0.4

把 x=0.65,y=0.8 代入上式,得 0.8 ? k ,k=0.2. 0.65 ? 0.4

∴ y ? 0.2 ? 1 .即 y 与 x 之间的函数表达式为 y ? 1 .

x ? 0.4 5x ? 2

5x ? 2

(2)根据题意,得 ??1 ? 1 ?? ·(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%). ? 5x ? 2 ?

整理,得 x2-1.1x+0.3=0.解得 x1=0.5,x2=0.6. 经检验 x1=0.5,x2=0.6 都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是 0.55~0.75,故 x=0.5 不符合题意,舍去,∴x=0.6.
故当电价调至 0.6 元时,今年电力部门的收益将比去年的增加 20%. 5、分析 本题考查反比例函数、不等式等知识.首先应根据图象信息结合题中条件确定反比例函数 的表达式,然后利用不等式的知识确定气球的体积.
解:(1)设所求函数的表达式为 p ? k , V
把 A(1.5,64)代入,得 64 ? k .解得 k=96. 1.5
∴所求函数的表达式为 p ? 96 . V
(2)当 V=0.8 时, p ? 96 =120(千帕). 0.8
解法 1:(3)由 p=144 得,V ? 96 ? 2 . 144 3
∵当气球内的气压大于 144 千帕时,气球将爆炸, ∴p≤144,由图象知,p 随 V 的增大而减小.

∴V≥ 2 . 3
解法 2:(3)∵当气球内的气压大于 144 千帕时,气球将爆炸

∴p≤144,即 96 ≤144, V
解得 V≥ 96 ? 2 . 144 3
体验中考

1、分析 由图象可知 I 与 R 成反比例函数关系,设 I ? U ,则 U=IR=6×8=48,∴ I ? 48 ,当 I

R

R

=10 时,R ? 48 ? 4.8,因为电阻越大,电流越小,所以此用电器的可变电阻应不小于 4.8 Ω .故选 A. I

规律·方法 I 与 R 是典型的反比例函数关系,跨学科题目是中考常见题型,也是中考命题的方向.

2、解:(1)将点 P(3, 1 )代入函数关系式 y ? a 中,

2

t

解得 a ? 3 ,所以 y ? 3 .

2

2t

将 y=1 代入 y ? 3 ,得 t ? 3 ,

2t

2

所以药物释放完毕后 y 与 t 之间的函数关系式为 y ? 3 (t> 3 ). 2t 2

再将 ?? 3 ,1?? 代入 y=kt,得 k= 3 ,

?2 ?

2

所以药物释放过程中 y 与 t 之间的函数关系式为 y ? 3 (0≤t≤ 2 ).

2t

3

(2)解不等式 3 < 1 ,解得 t>6, 2t 4

所以至少需要经过 6 小时后,学生才能进入教室.




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