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高中数学人教A版选修1-1学业分层测评3 充分条件与必要条件 充要条件 Word版含解析

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学业分层测评

(建议用时:45 分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.(2015·天津高考)设 x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”

的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】 |x-2|<1?1<x<3,x2+x-2>0?x>1 或 x<-2.

由于{x|1<x<3}是{x|x>1 或 x<-2}的真子集,

所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件.

【答案】 A

2.函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件

是( )

A.m=-2

B.m=2

C.m=-1

D.m=1

【解析】 当 m=-2 时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线 x

=1 对称,反之也成立,所以 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1

对称的充要条件是 m=-2.

【答案】 A

3.已知非零向量 a,b,c,则“a·b=a·c”是“b=c”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】 ∵a⊥b,a⊥c 时,a·b=a·c,但 b 与 c 不一定相等,

∴a·b=a·c?/ b=c;反之,b=c?a·b=a·c.

【答案】 B

4.(2015·北京高考)设 α,β 是两个不同的*面,m 是直线且 m?

α,“m∥β ”是“α∥β ”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】 当 m∥β 时,过 m 的*面 α 与 β 可能*行也可能相交,

因而 m∥β?/ α∥β;当 α∥β 时,α 内任一直线与 β *行,因为 m?α,

所以 m∥β.综上知,“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件.

【答案】 B

5.已知 p:x2-x<0,那么命题 p 的一个必要非充分条件是( )

A.0<x<1

B.-1<x<1

C.21<x<23

D.21<x<2

【解析】 x2-x<0?0<x<1,运用集合的知识易知.

A 中 0<x<1 是 p 的充要条件;

B 中-1<x<1 是 p 的必要非充分条件;

C 中12<x<32是 p 的充分非必要条件;

D 中21<x<2 是 p 的既不充分也不必要条件.应选 B.

【答案】 B

二、填空题

6.“b2=ac”是“a,b,c 成等比数列”的________条件.

【解析】 “b2=ac” ?/ “a,b,c 成等比数列”,例如 b2=ac

=0;而“a,b,c 成等比数列”?“b2=ac”成立.故是必要不充分

条件.

【答案】 必要不充分

7.“函数 f(x)=x2-2ax+3 在区间[1,+∞)上是增函数”是“a

<2”的________条件.

【导学号:26160014】

【解析】 ∵函数 f(x)=x2-2ax+3 的图象开口向上,对称轴为

x=a,

∴当 f(x)在[1,+∞)上为增函数时,a≤1,而 a≤1?a<2,a<

2?/ a≤1.

∴是充分不必要条件.

【答案】 充分不必要

8.下列三个结论:

①x2>4 是 x3<-8 的必要不充分条件;

②若 a,b∈R,则“a2+b2=0”是“a=b=0”的充要条件;

③x2+(y-2)2=0 是 x(y-2)=0 的充要条件.

其中正确的结论是________.

【解析】 对于①,x2>4?x>2 或 x<-2,x3<-8?x<-2,∴①

正确;对于②,a2+b2=0?a=b=0,∴②正确;对于③,x2+(y-

2)2=0?x=0 且 y=2,x(y-2)=0?x=0 或 y=2,∴③错误,应为充

分不必要条件.

【答案】 ①②

三、解答题

9.已知命题 p:4-x≤6,q:x≥a-1,若 p 是 q 的充要条件,

求 a 的值.

【解】 由题意得 p:x≥-2,q:x≥a-1,因为 p 是 q 的充要

条件,所以 a-1=-2,即 a=-1.

10.判断下列各题中 p 是 q 的什么条件.

(1)p:x>1,q:x2>1;

(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;

(3)p:a<b,q:ba<1.

【解】 (1)由 x>1 可以推出 x2>1;由 x2>1,得 x<-1 或 x>1,不

一定有 x>1.因此,p 是 q 的充分不必要条件.

(2)由(a-2)(a-3)=0 可以推出 a=2 或 a=3,不一定有 a=3;

由 a=3 可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p 是 q 的必要不充分条件.

(3)由于 a<b,当 b<0 时,ab>1;当 b>0 时,ab<1,故若 a<b,不一

定有ba<1;当 a>0,b>0,ab<1 时,可以推出 a<b;当 a<0,b<0,ab<1

时,可以推出 a>b.因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

[能力提升]

1.(2016·潍坊联考)“a=-1”是“直线 a2x-y+1=0 与直线 x

-ay-2=0 互相垂直”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】 “直线 a2x-y+1=0 与直线 x-ay-2=0 互相垂直”

的充要条件是 a2+a=0,即 a=-1 或 a=0,所以 a=-1 是两直线

垂直的充分不必要条件.

【答案】 A

2.(2016·忻州联考)命题“对任意 x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题

的一个充分不必要条件可以是( )

A.a≥4

B.a>4

C.a≥1

D.a>1

【解析】 要使得“对任意 x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题,只 需要 a≥4,∴a>4 是命题为真的一个充分不必要条件.
【答案】 B 3.(2016·南京模拟)设函数 f(x)=cos(2x+φ),则“f(x)为奇函数” 是“φ=π2”的________条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”). 【解析】 当 φ=π2时,可得到 f(x)为奇函数,但 f(x)为奇函数时 不一定 φ=π2,所以“f(x)为奇函数”是“φ=π2”的必要不充分条件. 【答案】 必要不充分 4.已知 p:2x2-3x-2≥0,q:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
【导学号:26160015】 【解】 令 M={x|2x2-3x-2≥0}

={x|(2x+1)(x-2)≥0}=???x???x≤-12或x≥2

?
?,
?

N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}=

{x|x≤a-2 或 x≥a},

由已知 p?q 且 q?/ p,得 M N.

∴??a-2≥-12, 或??a-2>-12,

?a<2

?a≤2

?32≤a<2 或23<a≤2?23≤a≤2,即所求 a 的取值范围是???32,2???.




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